Original file (WebM audio/video file, VP9, length 1 min 49 s, 1,080 × 1,080 pixels, 1.08 Mbps overall, file size: 14.11 MB)
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Summary
| Description |
English: This video shows a sphere eversion using Thurston's corrugation method, as described in the video Outside In by the Geometry Center (Bill Thurston, Silvio Levy, Delle Maxwell, Tamara Munzner, Nathaniel Thurston, David Ben-Zvi, Matt Headrick, et al.), 1994, and the accompanying booklet Silvio Levy: Making Waves — A Guide to the Ideas Behind Outside In, A K Peters, Wellesley, MA, 1995.
An eversion turns the sphere inside-out in a smooth manner. Creases, pinch points, holes, etc. may not occur. However, the sphere may intersect itself during the eversion. In mathematical terms, the eversion is a regular homotopy between the sphere and the sphere point reflected at its center. To indicate the two sides of the sphere, its outside is colored gold and its inside purple. The video has four parts. In the first part, an eversion of the complete sphere is shown. Conceptually, the sphere consists of eight spherical lunes that all deform in the same manner. First, the sphere is corrugated. This is necessary to add enough pliability for the following steps. Second, the northern and southern parts of the sphere are pushed through each other. This causes loops in the central part of the sphere. Third, the northern and southern part of the sphere are rotated by 180° in opposite directions. At the same time, the central part is twisted to remove the loops. Fourth, the central parts of the sphere are pushed through the vertical axis of the sphere, which moves the outside parts of the center of the sphere to the inside. Fifth, the corrugations are removed, resulting in the everted sphere. In the second part of the video, the eversion is reversed. In this part, only a single hemisphere is shown. This allows to see the complex self-intersections that occur during the eversion, especially in the third and fourth steps. The eversion possesses a 180° rotational symmetry around an axis through the equator between the two hemispheres. Therefore, the deformation of the two hemispheres is identical. The third part of the video shows the eversion of a single lune. The lune can be imagined as a belt that starts out with both ends in the same direction. Conceptually, the second step of the eversion can be visualized as moving the belt's ends past each other while the belt's ends maintain their orientation. This creates a loop in the belt that resembles a mirrored “α” (the Greek letter alpha). If the belt were straightened, it would contain a 360° twist. The third step removes this twist by rotating each end of the belt by 180° in opposite directions. This creates a belt that has the shape of a “Ω” (the Greek letter Omega), rotated by 90°. The fourth step pushes the center of the belt to the opposite side, which deforms the “Ω” into a rotated “U” and moves the outside of the belt (lune) to the inside of the sphere. Hence, this part of the video visualizes that the main deformation that occurs for each lune corresponds to the motion of creating a loop in a belt and then removing the loop by twisting the belt. The corrugations at the beginning and the end would not be necessary to evert a single lune. However, they are essential to be able to evert all eight lunes (the entire sphere) simultaneously. The fourth part of the video shows a reverse eversion of the entire sphere, but with the inside painted with an image of the earth by night and the outside painted with an image of earth by day. This shows that the eversion actually effects a point reflection that reverses the orientation of the sphere. Note that, for example, Australia is upside-down and mirror-reversed (visible, for example, by the position of New Zealand with respect to Australia). After the eversion has been completed, the antipodal points of Australia are shown (North and South America). Note that the video can be played in a loop using a suitable video player.Deutsch: Dieses Video zeigt eine Umstülpung der Sphäre mit der Methode der Corrugations von Thurston, wie sie im Video Outside In (1994 produziert am Geometry Center von Bill Thurston, Silvio Levy, Delle Maxwell, Tamara Munzner, Nathaniel Thurston, David Ben-Zvi, Matt Headrick et al.) und in dem zugehörigen Buch Silvio Levy: Making Waves — A Guide to the Ideas Behind Outside In, A K Peters, Wellesley, MA, 1995, beschrieben wird.
Die Sphäre wird von innen nach außen umgestülpt, wobei die deformierte Sphäre zu jedem Zeitpunkt mathematisch glatt ist. Falten, Zwickpunkte, Löcher oder ähnliches dürfen bei der Umstülpung nicht auftreten. Die Sphäre darf sich jedoch während der Umstülpung selbst durchdringen. Mathematisch betrachtet ist die Umstülpung eine reguläre Homotopie zwischen der Sphäre und ihrer Punktspiegelung an ihrem Mittelpunkt. Um die zwei Seiten der Sphäre zu kennzeichnen, ist ihre Außenseite goldfarben und ihre Innenseite violett eingefärbt. Das Video hat vier Teile. Im ersten Teil wird eine komplette Umstülpung der Sphäre gezeigt. Konzeptuell ist die Sphäre aus acht Kugelzweiecken zusammengesetzt, die alle in der gleichen Art und Weise verformt werden. Im ersten Schritt wird die Sphäre (ähnlich zu einem Wellblech) gewellt. Dies ist notwendig, um eine ausreichende Biegsamkeit für die folgenden Schritte zu gewährleisten. Im zweiten Schritt werden der nördliche und südliche Teil der Sphäre durcheinander gedrückt. Dadurch entstehen im mittleren Teil der Kugel Schleifen. Im dritten Schritt werden der nördliche und südliche Teil der Sphäre um 180° in entgegengesetzte Richtungen gedreht. Gleichzeitig wird der mittleren Teil der Kugel verdreht, um die Schleifen zu entfernen. Im vierten Schritt werden die mittleren Teile der Sphäre durch die vertikale Achse der Sphäre gedrückt. Dadurch wird wird die Außenseite der Sphäre in das Innere der Sphäre bewegt. Im fünften Schritt werden die Wellen entfernt (das Wellblech geglättet) und so die Umstülpung der Sphäre abgeschlossen. Im zweiten Teil des Videos wird die Umstülpung umgekehrt. In diesem Teil des Videos wird nur eine Hemisphäre gezeigt. Auf diese Weise lassen sich die komplexen Selbstdurchdringungen erkennen, die während der Umstülpung insbesondere im dritten und vierten Schritt auftreten. Die Umstülpung besitzt eine 180°-Rotationssymmetrie zwischen den beiden Hemisphären um eine Achse durch den Äquator. Daher ist die Verformung der beiden Hemisphären identisch. Der dritte Teil des Videos zeigt die Umstülpung eines einzelnen Kugelzweiecks. Das Kugelzweieck kann man sich als einen Gürtel vorstellen, dessen beide Enden am Anfang in dieselbe Richtung zeigen. Konzeptionell kann man sich den zweiten Schritt der Umstülpung so vorstellen, dass die Enden des Gürtels aneinander vorbei bewegt werden werden, wobei die Enden ihre Richtung beibehalten. Dies verursacht eine Schleife im Gürtel, der einem gespiegelten „α“ (dem griechischen Buchstaben alpha) ähnelt. Wenn der Gürtel gerade gezogen würde, würde er eine Verdrehung von 360° aufweisen. Im dritten Schritt wird diese Verdrehung beseitigt, indem beide Enden des Gürtels um 180° in entgegengesetzte Richtungen gedreht werden. Dadurch entsteht ein Gürtel, der die Form eines um 90° gedrehten „Ω“ (der griechische Buchstabe Omega) hat. Der vierte Schritt schiebt die Mitte des Gürtels auf die gegenüberliegende Seite, wodurch sich das „Ω“ zu einem gedrehten „U“ verformt und die Außenseite des Gürtels (Kugelzweiecks) auf die Innenseite der Kugel wandert. Dieser Teil des Videos veranschaulicht also, dass die Hauptverformung, die bei jedem Kugelzweieck auftritt, der Bewegung entspricht, in einem Gürtel eine Schlaufe zu erzeugen und die Schlaufe dann durch Verdrehen des Gürtels zu entfernen. Das Wellen am Anfang und am Ende ist nicht notwendig, um ein einzelnes Kugelzweieck umzustülpen. Es ist jedoch unerlässlich, um alle acht Kugelweiecke (die gesamte Kugel) gleichzeitig umstülpen zu können. Der vierte Teil des Videos zeigt eine umgekehrte Umstülpung der gesamten Kugel, wobei jedoch die Innenseite mit einem Bild der Erde bei Nacht und die Außenseite mit einem Bild der Erde bei Tag eingefärbt ist. Dies zeigt, dass die Umstülpung tatsächlich eine Punktspiegelung bewirkt, die die Orientierung der Sphäre umkehrt. Man beachte, dass z. B. Australien auf dem Kopf steht und spiegelverkehrt ist (sichtbar z. B. an der Position Neuseelands im Vergleich zu Australien). Nachdem die Umstülpung abgeschlossen ist, werden die Antipodenpunkte Australiens angezeigt (Nord- und Südamerika). Das Video kann mit einem geeigneten Videoplayer in einer Schleife abgespielt werden. |
| Date | |
| Source | Own work |
| Author | Carsten Steger |
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| current | 12:55, 9 January 2022 | 1 min 49 s, 1,080 × 1,080 (14.11 MB) | Carsten Steger | Uploaded own work with UploadWizard |
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