English:
A regular decagon with interlaced sides has its ten vertices on the sides of a convex regular pentagon:
a pentagonal tiling by divided into:
- acute-angled elements with only one 36 ° angle each,
- obtuse-angled elements having each each two 36 ° angles.
Every tiling element of any shape is called golden triangle because of its length ratio of two sides, equal :
- either to
- or to its multiplicative
- if not equal to 1, of course.
The triangular tilings of two or ten elements are constructed in the same way as the pentagonal tessellation. Any similar elements of tilings are congruent, and these tilings are contructed edge‑to‑edge: every boundary between two adjacent elements is a full edge of one and the other element.
On the left, the two triangular tilings are similar to a smallest tiling element, because of their two 36° angles. So their largest length ratios of two sides equal the golden ratio. And is the scale ratio of the direct similarity represented by the first curved arrow at the image bottom. The elements labelled either from 1 to 5 or from 'a' to 'e', according to their shapes, show the second curved arrow represents a similarity that mutiplies areas by 5. Therefore is the scale ratio of this second direct similarity on the left, which transforms the length unit
On the right, 18 triangular elements labelled either from 1 to 11 or from 'a' to 'g', according to their shapes, fill one fifth () of the area of the pentagonal tiling, equal to the area of a similar pentagon having a side length of Since is the side length of the pentagonal tiling, relation not written on the image.
Français :
Un décagone régulier aux côtés entrelacés a ses dix sommets sur les côtés d’un pentagone régulier convexe :
un pavage pentagonal de répartis en :
- éléments acutangles avec un seul angle de 36 ° chacun,
- éléments ayant chacun deux angles de 36 ° chacun.
Tout élément de pavage de n’importe quelle forme s’appelle un triangle d’or en raison d’un rapport des longueurs de deux côtés égal :
- soit au
- soit à son
- s’il n'est pas égal à 1, bien sûr.
Les pavages triangulaires de deux ou dix éléments sont construits de la même façon que le pavage pentagonal. N’importe quels éléments de pavages qui sont semblables peuvent se superposer exactement : ils sont isométriques. Ces pavages sont construits bord à bord, chaque frontière entre deux éléments adjacents est un côté complet de l’un et l’autre élément.
À gauche, les deux pavages triangulaires sont semblables aux plus petits éléments des pavages, à cause de leurs deux angles de 36°. Alors leurs plus grands rapports de longueurs de deux côtés valent le nombre d’or. Et est le rapport de la similitude directe représentée par la première flèche incurvée au bas de l’image. Les dix éléments de pavage étiquetés soit de 1 à 5, soit de 'a' à 'e', selon leurs formes, montrent que la seconde flèche incurvée représente une similitude qui multiplie les aires par 5. Par conséquent est le rapport de la seconde similitude directe, à gauche, qui transforme la longueur unité
À droite, 18 éléments triangulaires étiquetés soit de 1 à 11, soit de 'a' à 'g', selon leurs formes, remplissent un cinquième de l’aire du pavage pentagonal, égal à l’aire d’un pentagone semblable dont la longueur d’un côté
Puisque
est la longueur d’un côté du pavage pentagonal,
relation non inscrite dans l’image.