Summary

Description01-100-Eck-Quadratrix.svg	Deutsch: 100-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel English: Hectogon, exact construction using the quadratrix of Hippias as an additional aid
Date	22 March 2018
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Konstruktion

Das regelmäßige 100-Eck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht konstruierbar. Ein zusätzliches Hilfsmittel zur Dreiteilung beliebiger Winkel reicht ebenfalls nicht aus. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in ${\displaystyle n}$ gleich große Winkel erlaubt, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, sind aber in der einschlägigen Literatur nicht erwähnt.

Vorüberlegungen

• Um von einem regelmäßigen 100-Eck den Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ mithilfe der Quadratrix des Hippias zu finden, ist zuerst eine sogenannte Hilfsstrecke zu konstruieren, deren Gesamtlänge ${\displaystyle 100}$ gleich langer Teile entspricht, aber die Abschnitte aus den Radien ${\displaystyle 2,4,8,16,32,32}$ und ${\displaystyle 6}$ (Summe ${\displaystyle =100}$) zusammengesetzt sind.

• Der Zentriwinkel des 100-Ecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{100}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Hundertstel der Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}}}$ kann nur ein Hundertstel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ },}$ das Vierfache eines Hundertstel, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt.

• Es ist nicht erforderlich die Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}}}$ in ${\displaystyle 100}$ einzelne, gleich lange Teile zu unterteilen, denn man benötigt davon nur die Länge von ${\displaystyle 4}$ Teilen. Des Weiteren ist es bei einer sehr hohe Anzahl der Teilungen (sehr kleine Zirkelöffnung für z. B. ${\displaystyle 1}$ Teil) vorteilhaft, den Durchmesser des Umkreises als Summe von ${\displaystyle 100}$ gleich langen Teilen festzulegen. Aufgrund dessen wird im Folgenden die sogenannte Hilfsstrecke nur aus ${\displaystyle 7}$ Radien – Vielfaches eines Hundertstel – zusammengesetzt.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Nach dem Zeichen des Kreises um dessen Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und des Quadrates ${\displaystyle ME_{100}BC}$, z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$, erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:^[1][2]

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}$

Es geht weiter mit dem Einzeichnen des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {D,0\;C}}}$ sowie einer Geraden durch den Winkelscheitel ${\displaystyle D,0}$ mit beliebiger Winkelweite (vorteilhaft ca. 15°– 30°) zum Durchmesser. Nun nimmt man einen geschätzten Radius in den Zirkel der mind. 50-mal auf der Geraden ab dem Punkt ${\displaystyle D,0}$ Platz hat und bestimmt damit um ${\displaystyle D,0}$ die Schnittpunkte ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle F.}$

Es folgt die Festlegung der sogenannten Hilfsstrecke mit den Radien ${\displaystyle 4}$ (z. B. ${\displaystyle {\overline {2F}}}$ um Schnittpunkt ${\displaystyle 2),}$ ${\displaystyle 8,}$ ${\displaystyle 16,}$ ${\displaystyle 32,}$ ${\displaystyle 32,}$ und ${\displaystyle 6,}$ jeweils um den zuvor erzeugten Schnittpunkt. Die damit erzeugten Schnittpunkte sind ${\displaystyle 6,}$ ${\displaystyle 14,}$ ${\displaystyle 30,}$ ${\displaystyle 62,}$ ${\displaystyle 94}$ und ${\displaystyle 100.}$ Nach dem Verbinden des Punktes ${\displaystyle 100}$ mit ${\displaystyle C}$ wird die Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;100}}}$ in ${\displaystyle G,0'}$ halbiert und Punkt ${\displaystyle G,0'}$ mit ${\displaystyle M}$ verbunden. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;F}}}$ (entspricht ${\displaystyle 2}$ gleich langen Teilen der Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;100}}}$) ab ${\displaystyle G,0'}$ abgetragen ergibt den Schnittpunkt ${\displaystyle 2'.}$ Eine sich daran anschließende Parallele zu ${\displaystyle {\overline {G,0'\;M}}}$ ab Punkt ${\displaystyle 2'}$ bringt, da sich die Streckenteilung auf dem Durchmesser bezieht, den Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ auf der Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}}.}$ Nach dem Einzeichnen einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {ME_{100}}}}$ ab den Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ bis zur Kurve der Quadratrix des Hippias, ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle H}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle H}$ bis zum Umkreis. Somit ergibt sich der Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ und auf dem Umkreis neben dem ersten Eckpunkt ${\displaystyle E_{100}}$ der zweite ${\displaystyle E_{1}.}$ Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{100}E_{1}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen 100-Ecks.

Nach dem Abtragen der noch fehlenden Seitenlängen ${\displaystyle a}$ auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das 100-Eck ${\displaystyle E_{1}\ldots E_{100}}$ fertiggestellt.

Siehe auch

• Strahlensatz

Einzelnachweise

1. ↑ Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug Google), abgerufen am 23. März 2018
2. ↑ Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme, ab Seite 279, abgerufen am 23. März 2018

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